1. Úvod

Již řadu let představují numerické metody přední výpočetní nástroj. Zpočátku nezajímavá metoda konečných prvků (MKP) se dnes stala jedním z hlavních výpočetních prostředků nejen ve strojírenství, pro kterou byla prvotně určena, ale také ve všech oblastech elektrotechnického průmyslu. Svou nezastupitelnou roli sehrává jak při vývoji, návrhu a konstrukci nových elektrotechnických výrobků, tak i v případné rozměrové či materiálové optimalizaci stávajícího zařízení. Hlavní přednost MKP spočívá v grafické interpretaci často velmi abstraktních fyzikálních polí, ve kterých klasická technika řešení zavádí mnohdy značná zjednodušení na úkor přesnosti.


2. Numerické metody a práce konstruktéra

Těžiště numerických metod spočívá v práci s modelem fyzikálního problému. Tento model je vytvořen pomocí výpočetního software, ve kterém probíhá jeho další analýza a vyhodnocení s případnou rozměrovou či materiálovou optimalizací. V ideálním případě to znamená, že konstruktér obdrží dimenzionální, materiálové či technologické parametry budoucího výrobku již z numerického modelu, a jeho vlastní funkčnost se prakticky ověří pouze na několika kusech reálných prototypů. Jedna z největších výhod metody konečných prvků spočívá v možnosti simulací jevů a dějů, které by se v praxi uskutečňovaly velmi obtížně nebo by, s ohledem na destrukci zařízení při zkouškách, byly příliš nákladné.

Pro výpočet fyzikálních polí existuje v současnosti řada velmi kvalitních software. Většina z nich pochází z komerční oblasti (finančně velmi nákladné). Najdou se však i velmi pěkné sharewarové či freewarowé programy běžně dostupné na Internetu (většinou zdarma) [7]. Na naší katedře je již řadu let využívána univerzitní verze software ANSYS. Pro řešení fyzikálních problémů využívá tento program metodu konečných prvků. Jeho struktura umožňuje simulovat nejen elektrická, magnetická, elektromagnetická, tepelná či strukturální pole, ale také proudění kapalin a plynů. Stěžejní výhoda ANSYSu spočívá v jeho schopnosti tato fyzikální pole mezi sebou vzájemně kombinovat a jednotlivé úlohy tak řešit s maximální možnou komplexností (sdružené elektro-tepelné, sdružené magneto-strukturální problémy) [6].


3. Řešení silových účinků elektromagnetického pole

Při návrhu elektrických zařízení je jednou z důležitých oblastí řešení vzájemných silových účinků a vazeb. Při provozu zařízení dochází občas k poruchovým stavům, jako je např. přetížení či v nejhorších případech zkrat. Elektrický proud dosahuje v takové situaci několikanásobně vyšší hodnoty než ve stavu normálního provozu. Obecně platí, že prochází-li vodičem elektrický proud, vzniká silové působení způsobující mechanické namáhání. Příčinou vzniku těchto sil je magnetické pole, které se vytváří kolem každého vodiče jímž prochází elektrický proud. Nacházejí-li se pak ve vzájemné blízkosti např. dva vodiče protékané proudem, působí jejich magnetické pole navzájem na sebe. Velikost této síly roste se čtvercem proudu, a její účinky jsou zvlášť nepříjemné právě v okamžiku průchodu zkratového proudu, kdy mohou provozované zařízení nenávratně poškodit (vylomení podpěrných izolátorů, roztrhané vinutí cívek transformátorů, ohnuté přípojnice).

Obr.1a: Prohoření kontaktů odpojovače	Obr.1b: Vypaření části stykačové rozvodny

Obr.2: Základní princip řešení pomocí numerických metod

Výše uvedený postup je naznačen pouze okrajově a vychází z obecných principů řešení numerických modelů. Tyto postupy jsou většinou shodné u všech výpočetních programů, a pokud se liší, pak jsou velmi dobře osvětleny v příslušných obslužných manuálech.


4. Elementární úlohy

Před řešením složitějších úloh je vždy rozumné vyzkoušet si možnosti výpočetního programu na jednoduchých elementárních modelech. Tím si ověříme nejen jeho schopnosti, ale v řadě případů se vyvarujeme nepříjemností, které sice nejsou v prvních chvílích patrné, ale během řešení zpravidla vždy nastanou. Při těchto ověřovacích výpočtech volíme takové typy modelů, u nichž známe analytické vztahy a vazby mezi veličinami, a výstup řešení jsme tak schopni posoudit především z hlediska chyby, resp. relativní odchylky od analytického výrazu. Zároveň také objevíme i nutné úpravy modelu (preciznější geometrie, rozložení a tvar výpočetní sítě), které povedou ke zpřesnění výpočtu.


4.1. Řešení silových účinků na vodič v blízkosti feromagnetika

V přístrojích nízkého napětí pracujících se střídavým proudem se pro zhášení elektrického oblouku při vypínání používá nejčastěji feromagnetická roštová zhášecí komora. Tato komora se skládá z izolačních bočnic, ve kterých je připevněno několik feromagnetických plíšků s různě tvarovanými zářezy, viz obr.3.

Obr.3: Vybrané typy zhášecích komor

Při vypínání oblouk postupuje od kontaktů až k této zhášecí komoře, postupně do ní vniká, rozdělí se zde na několik dílčích obloučků, a spolupůsobením úbytku napětí a ochlazováním na stěnách plíšků dochází k jeho uhašení. Mezi elektrickým obloukem a kovovými deskami komory vzniká síla, která způsobuje jeho pohyb a napomáhá vtahování oblouku do zhášecí komory.
Pokud se pokusíme v takové situaci řešit silové účinky, musíme zavést zjednodušení, kdy budeme v prvním přiblížení považovat oblouk za klasický vodič, jímž protéká elektrický proud. Pak můžeme tuto úlohu převést na silové účinky působící na vodič v blízkosti feromagnetika. Analyticky lze v tom nejjednodušším případě velikost síly vypočítat za zjednodušené úvahy, kdy se vodič nachází poblíž jediné feromagnetické desky orientované napříč k tomuto vodiči. Od rozhraní vzduch-feromagnetikum se rozměry desky rozšiřují donekonečna [1].
Pro vlastní řešení silových účinků sestavíme 2D numerický model, jehož základní geometrii a materiálové rozložení ukazují obr.4a) a obr.4b). Rozměry desky nelze v modelu volit nekonečné, spokojíme se tedy s rozměry konečnými a několikanásobně většími než průměr vodiče nacházejícího se v její blízkosti.

Obr.4a: Základní rozměry 2D modelu	Obr.4b: Rozložení materiálů ve 2D modelu

Model obsahuje vodič s průměrem d=2,5mm, feromagnetickou desku a vzduchové elementy, které jsou na své vnější hranici doplněny o elementy INFINITE BOUNDARY [6]. Z hlediska volby materiálových vlastností odpovídá jejich rozdělení tak, že vodiči a vzduchu je přiřazena hodnota relativní permeability mir=1, feromagnetické komoře pak mir=1000. Materiály jsou v tomto případě lineární. Proud, který prochází vodičem, je zvolen I=1000A a do modelu je aplikován ve formě proudové hustoty. Pro řešení vybereme statickou analýzu.

Obr.5a: Rozložení siločar magnetického pole ve 2D modelu	Obr.5b: Rozložení magnetické indukce ve 2D modelu

Na obr.5a) jsou vidět siločáry magnetického pole a na obr.5b) pak rozložení elektromagnetické indukce ve 2D modelu. Indukce dosahuje největších hodnot v těsném okolí (povrchu) vodiče a s rostoucí vzdáleností postupně klesá. Velké hodnoty nabývá indukce rovněž uvnitř feromagnetické komory, přes kterou se siločáry uzavírají, a která ji díky své permeabilitě značně zesiluje. Na rozhraní obou prostředí vzduch-feromagnetikum dochází k výraznému lomu siločar a tím i deformaci magnetického pole. Analogie sil působících na vodič v blízkosti feromagnetika se silovými účinky na dva rovnoběžné vodiče, jimiž prochází souhlasně orientovaný proud, je zde zřejmá z tvaru a průběhu siločar. Teorie při odvození analytického vztahu předpokládá, že se ve feromagnetiku vytvoří zrcadlový obraz vodiče se shodným smyslem průchozího proudu, proto se siločáry originálu a obrazu musí uzavírat a oblouk je tak přitahován k feromagnetické desce.

Analytický vztah má při této konfiguraci prudovodné dráhy tvar [1]:

(1)

Protože byl pro analýzu využit 2D plošný model, budou výsledky sil uvedeny v poměrné hodnotě na 1m délky (hloubky). Pro vyčíslení analytického vztahu si proto zvolíme právě tuto délku vodiče, další proměnné dosadíme podle obr.4a):

Síla na vodič v blízkosti feromagnetika má velikost:

	(2)

V programu ANSYS existují pro určení velikosti působící síly celkem tři techniky (Lorentzovy síly, Maxwellův napěťový tenzor, virtuální práce systému), přičemž nejpoužívanější je stanovení silových účinků pomocí virtuální práce systému [6]. Tento způsob je také nejvhodnější, neboť je nejméně citlivý na nerovnoměrnost rozložení výpočetní sítě. Textový výstup informující o silovém působení má následující podobu, viz obr.6:

Obr.6: Výstupní hodnoty sil

Porovnejme nyní mezi sebou tyto dvě hodnoty:

(3)

Velkou výhodou 2D analýzy magnetického pole je obrovská rychlost výpočtu i při značném množství prvků. Rozdíl mezi hodnotami sil je způsoben vytvořeným modelem. Teorie uvažuje, že od rozhraní vzduch-feromagnetikum se rozměry feromagnetika rozšiřují do nekonečna. U modelu se ovšem musíme spokojit s rozměry konečnými i když značně většími, než je rozměr vlastního vodiče. Rozdíl od analytického vztahu se přesto i při tomto zjednodušení pohybuje do 5% a se vrůstajícími rozměry feromagnetika velmi rychle klesá. Uvedená úloha dává také odpověď na otázku, jaké by byly silové účinky v případě konečných rozměrů feromagnetika.
U reálné feromagnetické komory lze velikost působící síly stanovit ze změny energie nahromaděné v magnetickém poli oblouku, resp. ze změny indukčnosti obvodu. Síla se pak určuje kombinací praktického měření a analytického výpočtu [1, 2]. V případě řešení takového problému pomocí numerických metod již 2D model nevyhovuje a pro posouzení silových účinků je potřeba vytvořit 3D model zhášecí komory.


4.2. Řešení silových účinků v místě kontaktního styku

Kontaktní styk představuje místo, ve kterém dochází k náhlé změně průřezu proudovodné dráhy. Toto místo styku způsobuje obrovskou deformaci proudnic, kdy elektrický proud přechází z masivní části kontaktu do velmi malé vodivé plošky. Deformací proudnic vznikají silové účinky směřující proti působení přítlačné síly vyvíjené spínacím mechanismem. Při průchodu jmenovitého proudu jsou tyto elektrodynamické síly zanedbatelné, avšak teče-li obvodem proud zkratový, nabývají takové velikosti, že může dojít k odskoku kontaktů, zapálení elektrického oblouku a svaření stykových ploch. Na obr.7a) je vidět kontaktní systém stejnosměrného vypínače a dále pak na obr.7b) působení sil v sepnuté poloze kontaktů při průchodu proudu.

Obr.7a: Ukázka reálných kontaktů ss vypínače	Obr.7b: Rozložení sil při styku kontaktů

Při výpočtu uvažujeme s nejhorším stavem, při kterém vznikne vodivé spojení pouze v jednom místě stykových ploch - tzv. bodový kontaktní styk. Pokusme se nyní vytvořit model reprezentující tento druh kontaktního styku a vyřešit silové účinky. Základní geometrii představuje 3D model válcových kontaktů s čelním bodovým stykem, viz obr.8a), celkový pohled na model a rozložení materiálů ukazuje obr.8b).

Obr.8a: Základní rozměry 3D modelu kontaktního styku	Obr.8b: Rozložení materiálů ve 3D modelu kontaktního styku

Model obsahuje dva kontakty spojené velmi malou stykovou plochou, přičemž průřez stykové plochy je vzhledem k průřezu válcového tělesa kontaktu v poměru více než 1:1000. Pokrytí modelu kvalitní výpočetní sítí je velmi důležité především v místě styku, neboť jak vyplývá z teorie, dochází v tomto prostoru k největší deformaci proudnic [2]. Neméně důležité je vytvoření této kvalitní sítě i mezi vlastními tělesy kontaktů. Pro řešení silových účinků využijeme statickou analýzu, jako zátěžnou hodnotu volíme proud o velikosti I=5000A. Kontakty jsou vyrobeny z materiálu s relativní magnetickou permeabilitou mir=1. Okolní prostředí tvoří vzduch, který na jeho vnější hranici opět doplníme o elementy INFINITE BOUNDARY.

Obr.9a: Rozložení úbytku napětí v okolí místa kontaktního styku	Obr.9b: Rozložení magnetické indukce v okolí místa kontaktního styku

Na obr.9a) je vidět rozložení úbytku napětí na kontaktech. Jeho největší změna se soustředí ve velmi malé oblasti, v oblasti kontaktního styku. Obr.9a) ukazuje i proudové pole (ekvipotenciální plochy), které má tvar elipsoidů, jak předpokládá teorie [1]. Z obr.9b) je zase patrné, jakým způsobem je v místě styku rozložena elektromagnetická indukce. Největší hodnoty indukce se objevují v okolí vnějších hranic kontaktního styku, zatímco ve středu kontaktní plochy je indukce prakticky nulová. Magnetická indukce tak přesně kopíruje zhuštění proudnic, které se nejvíce projevuje právě v okrajích plošky styku.

Silové účinky stanovíme pomocí analytického vztahu [1]: